Question

如图，AB是圆O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与圆O相切于点D，弦DF垂直AB于点E，线段CD=10，连接BD

（1）求证：角CDE=2角B
（2）若BD：AB=根号3：2，求圆O的半径及DF的长

Answer 1

（1）证明：
因为AB是直径，DF垂直AB
所以AB垂直平分DF（垂径定理）
连接BF则∠CBD=∠CNF
所以∠DBF=2∠CBD
CD是圆O的切线，∠CDE是弦切角
所以∠CDE=∠DBF
所以∠CDE=2∠CBD（即∠B）
（2）设圆O的半径为a，则AB=2a
因为BD：AB=√3：2
所以BD=√3a
连接OD，AD
则OD垂直CD，AD垂直BD
由勾股定理
AD²+BD²=AB²
解得AD=a
所以三角形AOD是正三角形（AO=OD=AD=a）
角COD=60度
所以角C=30度
那么在直角三角形COD中
OC=2OD=2a
根据勾股定理
OC²=OD²+CD²
4a²=a²+100
a²=100/3
a=10√3/3
圆的半径为10√3/3
在直角三角形CED中
角C=30度
所以DE=1/2CD=10×1/2=5
所以DF=2DE=10

Answer 2

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