Question

如图所示，已知圆C:(x +1)²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且

且满足（向量AM)=2(向量AP),(向量NP)×(向量AM)=0,点N的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足（向量FG）=λ（向量FH），求λ的取值范围。

Answer 1

（1）显然PN是AM中垂线，故MN=AN，所以

CN+AN=CM=2√2，故N点轨迹为以A、C为焦点的椭圆，有

c=1，a=√2，可得b=1，故

点N轨迹方程曲线E为x²/2+y²=1，

（2）不妨设FH斜率为k，且将原点移至F，

则直线FH方程为y=kx，

则椭圆方程变为x²/2+（y-2）²=1，

将直线方程代入椭圆得x²/2+（kx-2）²=1，整理得

（1+2k²）x²-8kx+6=0，

要有交点，首先要△=（-8k）²-4·6（1+2k²）=16k²-24≥0，即k²≥3/2，

因为左右对称，可以研究单侧，

当k＞0时，λ=x1/x2=｛-b-√（b²-4ac）｝／｛-b+√（b²-4ac）｝，即

｛8k-√（16k²-24）｝／｛8k+√（16k²-24）｝

=｛2-√（1-3/2k²）｝／｛2+√（1-3/2k²）｝，

可得λ∈[1,3]。