Question

初二数学题 急急急

①已知a+b+c=1/a+1/b+1/c=1
求证：abc中必定有个等于1
②已知四个数x、y、m、n，各不相等，且x最小，n最大
x/y=m/n
比较x+n与y+m的大小

Answer 1

1.
把1/a+1/b+1/c=1通分去分母得：
ab+bc+ca=abc
所以：
(a-1)(b-1)(c-1)
=(ab-a-b+1)(c-1)
=c(ab-a-b+1)-(ab-a-b+1)
=abc-ca-bc+c-ab+a+b-1
=abc-(ca+bc+ab)+(a+b+c)-1
=abc-abc+1-1
=0
由于(a-1)、(b-1)、(c-1)的乘积为0，所以三者之中至少有一个为0，也就是说，a、b、c三者之中至少有一个等于1。

2.
题目中要加一个“都是正数”吧？？？？？？？

设x/y=m/n=k，则0＜k＜1，∴k-1＜0
∴x=ky，m=kn，由已知可知y＜n，∴y-n＜0
∴(x+n)-(y+m)=(ky+n)-(y+kn)=(ky-y)-(kn-n)=y(k-1)-n(k-1)=(y-n)·(k-1)＞0
∴x+n＞y+m

Answer 2

1)
1/a+1/b+1/c=1 =>ab+bc+ac=abc

(a-1)(b-1)(c-1)
=abc-ab-bc-ac+a+b+c-1
=abc-abc+1-1=0

(a-1)(b-1)(c-1)=0，所以一定有一个因式为0
也就是abc中必定有个等于1

2)
应该是四个正数吧
(n+x)^2-(m+y)^2
=(n-x)^2+4nx -(m-y)^2 -4my (x/y=m/n => nx=my)
=(n-x)^2-(m-y)^2 (x<y,m<n => n-x > m-y)
>0
(n+x)^2>(m+y)^2
(四数全正的话)
n+x>m+y

Answer 3

看你挺急的，先给出第一题的解答：
（a-1)(b-1)(c-1)=(ab-a-b+1)(c-1)=abc-ab-ac+a-bc+b+c-1=abc-(ab+ac+bc)-（a+b+c）-1
=abc-（ab+bc+ac） （1）
而1/a+1/b+1/c=1,通分得：（ab+bc+ac）/abc=1,所以abc=ab+bc+ac，代入（1）式得：
（a-1）（b-1）（c-1)=0,所以（a-1），（b-1),(c-1)必有一个是0，即a，b，c必有一个是1.

Answer 4

(x+n)＾2=x＾2+n＾2+2xn
(y+m)＾2=y＾2+m＾2+2my
{x/y=m/n} =>x=ym/n；y=xn/m
把X、Y代入前面的表达式，得：y＾2m＾2/n＾2+n＾2+2xn；x＾2n＾2/m＾2+m＾2+2ym
因为xn=ym所以上式中xn与ym的项约去化简得：y＾2m＾2+1/n＾2和x＾2n＾2+1/m＾2
因为y＾2m＾+1=2x＾2n＾2+1
又因为n>m所以n＾2>m＾2
所以x+n>y+m
第一题：令(a-1)(b-1)(c-1)
=(ab-a-b+1)(c-1)=c(ab-a-b+1)-(ab-a-b+1)=abc-ac-bc+c-ab+a+b=abc-(ac+bc+ab)+(a+b+c)-1
因为：1/a+1/b+1/c=ab+bc+ac/abc=1所以：ab+bc+ac=abc代入上式得(a-1)(b-1)(c-1)=0
所以abc中至少一项为0

Answer 5

1.已知a,b,c属于正实数,求证bc/a+ac/b+ab/c大于等于a+b+c.
bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c.
将上式两边同时乘以2，那么
2bc/a+2ac/b+2ab/c≥2a+2b+2c.
由已知ab≤[（a+b）/2]^2,可以得出a^2+b^2≥2ab
所以bc/a+ac/b≥2c
bc/a+ab/c≥2b
ac/b+ab/c≥2a
将以上三式相加，即可得到结论，所以得证

2.已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于9
1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a （由于b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2）
>=3+2+2+2
=9