Question

微积分 极限问题!!

问题如图片, 高人提示说要用 L'Hopital's Rule 洛必达/ 罗毕塔 法则
求解求解...我算得头晕了!!

悬赏分在回答正确后追加!!

Answer 1

[ 1 - sin(4x) ]^cot(x) = exp [ cot(x) * ln [ 1 - sin(4x) ] ] = exp [ ln [ 1 - sin(4x) ] / tan(x) ]
lim(x->0) [ ln [ 1 - sin(4x) ] / tan(x) ]
= lim(x->0) [ 1/ [ 1 - sin(4x) ] * (-4cos(4x)) / (1/cos(x)^2) ]
= -4
所以，原极限 = exp(-4)

追问

请问能不能用 图片显出来， 或者在第三步的时候show more details？

追答

lim(x->0) [ ln [ 1 - sin(4x) ] / tan(x) ] (x->0时，分子分母均趋于0，利用罗比达法则，分子分母分别对x求导）
= lim(x->0) [ 1/ [ 1 - sin(4x) ] * (-4cos(4x)) / (1/cos(x)^2) ] （x->0时，sin(4x)->0，cos(4x)->1，cos(x)->1 ）
= 1/(1-0)^2 * (-4*1) / (1/1^2)
= -4