Question

求解一道高中数学题？

将边长为a的正方形白铁片，在它的四角各剪去一个小正方形。然后弯折成一个无盖的盒子。问：剪去的小正方形边长为多少时，制成的盒子容积最大？
过程稍微详细一点，保证准确度，谢谢！

Answer 1

设减去小正方形边长为x
则底面边长为a-2x，高为x
容积=(a-2x)(a-2x)x
=1/4 * (a-2x)(a-2x)(4x)
<=1/4 * (2a/3)^3
=a^3 *2/27
当且仅当a-2x=4x，即x=a/6时等号成立
因此小正方形边长为a/6时容积最大

Answer 2

将边长为a的正方形白铁片，在它的四角各剪去一个小正方形。然后弯折成一个无盖的盒子。问：剪去的小正方形边长为多少时，制成的盒子容积最大？
解：设剪去的正方形的边长为x,那么无盖盒子的体积
y=x(a-2x)²=x(a²-4ax+4x²)=a²x-4ax²+4x³
令dy/dx=a²-8ax+12x²=(2x-a)(6x-a)=0,得驻点x₁=a/2; x₂=a/6.
显然，x₁=a/2是极小点，因为此时y=0; x₂=a/6是极大点，
极大值maxy=y(a/6)=(a/6)[a-2×(a/6)]²=2a³/27

Answer 3

设剪去的边长是x
则容积V=（a-2x)(a-2x)x 其中0<x<a/2
变形有：v = (1/4) * (a-2x)(a-2x)*4x
后半部分 由均值不等式，得到：(a-2x)(a-2x)*4x <= [(a-2x+a-2x+4x)/3]^3 = (8a^3)/27
等号在a-2x=x,x=a/3时得到
因此V[max] = 1/4 * 8/27 * a^3=(2/27)*a^3

Answer 4

V=(a-2x)*(a-2x)*x,a>2x,再求导就行了，令导函数=0，解得x，就OK了，注意x的范围。

Answer 5

设剪去的小正方形边长为X，则制作的盒子的长宽高均为（a-2
x，x的取值范围是大于0小于2分之a）盒子的体积为a-2x的立方

设函数F=（a-2x）的立方
显然，当x=四分之a时F最大，