Question

高等数学中的一道数学题求解答

设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可向导.切f(a)=0,证明存在一点ζ,E(0,a),使f(ζ)+ζf'(ζ)=0

Answer 1

根据拉格朗日中值定理,在连续区间内存在一点ζ
使f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)，所以f(ζ)-f(a) =(ζ-a)f'ζ ，f（a）=0，也就是f(ζ)+ζf'(ζ)=0

Answer 2

作g（x）=x*f(x),则g(0)=g(a)=0,由费马定理，存在一点ζ,E(0,a),使得g的倒数在ζ点为零,即
f(ζ)+ζf'(ζ)=0

Answer 3

令ζ=0
f(ζ)=0，f(a)=0

零点定理，可证

f'(ζ)=f(ζ)/ζ=（f(ζ)-f（0））/（ζ-0）