Question

请高手解答几道高一数学题

1，已知向量a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),c=(-1,0).若x=pai/6,求向量a,c的夹角。当x属于[pai/2，9pai/8]时，求函数f(x)=2a*b+1的最大值
2.在三角形ABC中，向量AB=(2,3),向量AC=(1,k),且三角形ABC的一个内角为直角.求K值
3,已知a=(1,x),b=(x^2+x,-x),m为实数，求使m(a*b)^2-(m+1)a*b+1<0成立的x的范围

Answer 1

1、向量a·c=-cosx,|a|=(cosx)^2+(sinx)^2=1,|c|=1,
设向量a,c 夹角为θ,cosθ=a·c/(|a|*|c|)=-cosx,
x=π/6，cosθ=-√3/2，θ=5π/6。
f(x)=2[-(cosx)^2+sinxcosx]+1=sin2x-2(cosx)^2+1=sin2x-cos2x=√2sin(2x-π/4)
x∈[π/2,9π/8]
2x-π/4∈[3π/4,2π],在3π/4时最大，
√2sin(2x-π/4)最大值为√2√2/2=1.
2、要分三种情况，一、〈A是直角，向量AB·AC=0，2+3k=0,k=-2/3,
二、<B=90度，向量BC=（-1，k-3),
向量BC·BA=0,
2-3k+9=0,
k=11/3,
三、〈C=90度，
向量CA·CB=0，
-1-3k+k^2=0,
k=(3±√13）/2。
3、向量a·b=x^2+x-x^2=x,
mx^2-(m+1)x+1<0,
m>1时，1/m<x<1
m<1, 1/m<x<1.
故1/m<x<1.

Answer 2

1.当x=π/6时，向量a=（根号3/2,1/2），向量c=（-1,0）
cos<a,c>=a.c/|a||c|=负二分之根号3
所以夹角为5π/6
f(x)=-2(cosx)^2+sin2x+1=sin2x-cos2x=根号2sin（2x-π/4）
所以最大值为根号2
2。若角A为直角，则AB*AC=0即2*1+3k=0。k=-2/3
若角B为直角，向量BC=（-1，k-3）,AB*BC=0则k=11/3
若角C为直角，AC×BC＝0，k＝（3＋根号13）／2，k＝（3－根号13）／2