Question

关于定积分的题目

1.设f(x)在[a+c,b+c]可积,证明f(x+c)在[a,b]上可积,且 ∫（上限是b,下限是a）f(x+c)dx= ∫（上限是b+c,下限是a+c）f(x)dx
2.已知函数在指定区间上可积，用定义求积分： ∫ （上限是1，下限是0）a^xdx (a不等于1，a>0)
求教第1题，第2题已计算

Answer 1

这两问都用换元法做，令t=x+c,那么f(t)的定义域便是[a+c,b+c]，因为f(x)在[a+c,b+c]可积，f(t)和f(x)是等价的，只是一个符号不同罢了，便得证了。第二问，就更简单了，你将 ∫（上限是b,下限是a）f(x+c)dx换元换限所的结果刚好就是 ∫（上限是b+c,下限是a+c）f(t)dt也就等于∫（上限是b+c,下限是a+c）f(x)dx