Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）= -bx，其中a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0（a、b、c∈R

求证
(1)求证:两函数的图像交于不同的两点A,B
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围

Answer 1

解：
(1)由y=ax²+bx+c和y-bx，可消去y，得ax²+2bx+c=0.
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，
∴方程ax²+2bx+c=0的判别式△=（2b）² - 4ac = 4（-a-c）² - 4ac = 4（a+c/2）² + 3c²＞0
∴方程ax²+2bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴函数f（x）与g（x）的图像有两个不同的交点。

(2)设方程ax²+2bx+c=0的两个不相等的实数根为X1和X2，则（韦达定理）
X1+X2=-2b/a
X1·X2=c/a，
∴|A1B1|²=（X2-X1）²-4X1X2=4（c/a+½）²+3.
由a＞b＞c，a+b+c=0，
得a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
∴c/a∈（-2,，-½），
∴|A1B1|∈（√3,2√3）.

Answer 2

1、
证：
a+b+c=0
b=-(a+c)
ax^2+bx+c=-bx
ax^2+2bx+c=0
(2b)^2-4ac
=4b^2-4ac
=4(b^2-ac)
=4[(-a-c)^2-ac]
=4(a^2+2ac+c^2-ac)
=4(a^2+ac+c^2)
=4(a-c)(a^2+ac+c^2)/(a-c)
=4(a^3-c^3)/(a-c)
a>c a^3>c^3
a-c>0 a^3-c^3>0
4(a^3-c^3)/(a-c)>0
判别式>0，方程有两不相等的实数根，两函数交于不同的两点。
2、
a=-b-c>0
b+c<0
b<a b+a<a+a
a+b<2a，又a+b=-c
2a>-c
-c/a<2
c/a>-2
-2<c/a<0

设A(x1，y1) B(x2，y2)
对于方程ax^2+2bx+c=0
由韦达定理，得
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-2x1x2
=(-2b/a)^2-2c/a=2(2b^2-ac)/a^2
=2[2(a+c)^2-ac]/a^2
=2(2a^2+2c^2+4ac-ac)/a^2
=2(2a^2+3ac+2c^2)/a^2
=4(c/a)^2+6(c/a)+4
=4[(c/a)+3/4]^2+7/4
4[(c/a)+3/4]^2恒非负，因此|A1B1|^2≥7/4
c/a=-2时，4[(c/a)+3/4]^2+7/4=8
c/a=0时，4[(c/a)+3/4]^2+7/4=4

A1B1的取值范围为[√7/2，2√2)