Question

∫∫ln(1+x²+y²)dxdy,其中1≤x²+y²≤9 ？（∫∫下面有个D）正确答案是2π（5ln10-ln2

Answer 1

用极坐标＋分部积分计算
1≤x²+y²≤9，则1≤r²≤9,1≤r≤3
∫∫ln(1+x²+y²)dxdy
＝∫(0,2π)dθ∫(1,3)ln(1+r²)rdr
=2π∫(1,3)ln(1+r²)rdr【凑微分】
=π∫(1,3)ln(1+r²)d(1+r²)【分部积分】
=π{ln(1+r²)(1+r²)|(1,3)-∫(1,3)(1+r²)[2r/(1+r²)]dr}
＝π[10ln10-2ln2-∫(1,3)2rdr]
=π[10ln10-2ln2-r²|(1,3)]
=π[10ln10-2ln2-8]
=2π(5ln10-ln2-4)
【注：紧跟积分符号后面的为积分区间】