Question

已知f(x)=1+(3/x) ，（1） f^-1(x+3) （2）求函数y=f(x+3)的反函数

已知f(x)=1+(3/x) ，（1） f^-1(x+3) （2）求函数y=f(x+3)的反函数

Answer 1

首先要说的是，一个函数的三要素是自变量x、运算方法f和定义域，反函数也一样，一定记得要具备函数的三要素，一般最容易忘掉的就是定义域。原函数的定义域要么题目给定，要么根据函数本身求得；反函数的定义域不能只根据所求得的算式确定，一定要结合原函数的值域确定。比如本题：（1）原函数的定义域为x≠0，则值域为y≠1；好了求得反函数结构为f^-1(x)=3/(x-1),此处得x≠1，与原函数值域吻合，综上可得f^-1(x+3)=3/(x+2)，(x≠-2)，这才是完整的结果。（2）f(x+3)=1+[3/(x+3)]，定义域为x≠-3，值域为y≠1；求反函数结构为f^-1(x)=[1/(x-1)]-3，可看出定义域为x≠1，，与原函数值域吻合，好了结果为f^-1(x)=[1/(x-1)]-3，(x≠1)。

Answer 2

1）设y=f(x)=1+(3/x) ，则y+3=1+(3/x)+3=4+3/x，将等式变换（y+3）-4=3/x，x=3/{（y+3）-4}
=3/(y-1),所以将x和y符号换过来就是反函数 f-1(x+3) 即 f^-1(x+3) =3/(y-1),
2）f(x)=1+(3/x)，则y=f(x+3)=1+3/(x+3) ，将等式变换y-1=3/(x+3)，即x+3=3/(y-1),即
x=3/(y-1)-3,将x、y互换即反函数，f-1(x+3)=33/(x-1)-3

Answer 3

(1)f-1(x)=3/(x-1),f-1(x+3)=3/(x+2)
(2)y=f(x+3),f-1(y)=x+3,x=f-1(y)-3,即，y=f-1(x)-3,所以y=3/(x-1)-3=(6-3x)/(x-1)