Question

若点P是曲线y=e^x上任意一点，则点P到直线y=x的最小距离是多少

Answer 1

设p(a,eâ)
过点P作直线PB垂直于直线y=x交直线于B(b,b)
只有方程：
(eª-b)/(a-b)=-1
b=(a+eª)/2
PB²=(eª-b)²+(a-b)²
=(a-b)²+(a-b)²
=2(a-b)²
=(a-eª)²/2
设f(a)=eª-a
当f(a)的绝对值最小时，PB最小
我们来看f(a)的单调区间
f'(a)=eª-1≥0
a≥0
所以f(a)在[0，+∞)上单调递增，在(-∞,0]上单调递减
所以f(a)=eª-a的最小值为f(0)=1
所以f(a)的绝对值得最小值也等于1
所以PB≥1/√2

Answer 2

直线y=x的斜率k=1
对曲线y=e^x求导得y′=e^x，y′为曲线在x处的切线斜率，取切线与直线y=x平行，
即e^x=k=1 得x=0
所以与直线y=x最短距离的点是（0，1）
其到直线的距离d=|0-1|/√(1+1)=√2/2