Question

已知a,b属于R，且a>b/2>0,则a^2+16/(2a-b)b的最小值

Answer 1

a>b/2>0，即2a>b>0，所以
T=a²＋16/[(2a－b)b]
=(1/4)×{[(2a－b)＋b]²＋16/[(2a－b)b]}
=(1/4)×{(2a－b)²＋2(2a－b)b＋b²＋16/[(2a－b)b]}
≥(1/4)×{2(2a－b)b＋2(2a－b)b＋16/[(2a－b)b]
=(2a－b)b＋16/[(2a－b)b]
≥8。
其中等号取得的条件是2a－b=b且(2a－b)b=16/[(2a－b)b]，也就是2a－b=b且(2a－b)b=4，
即2a－b=b=2，即a=2，b=2时取得等号(这个可以做到)。
所以，a²＋16/[(2a－b)b]的最小值为8。