Question

数学题 用洛必达法则

当x->派/2时，tanx/tan3x等于多少？
就这一道题出问题了，我怎么算都得1啊！答案是3
答案是3,一楼你的明显是错的，不是这么简单，用洛必达法则

Answer 1

(tanx)`=sec^2(x)
(tan3x)`=sec^2(3x)*(3x)`=3sec^2(3x)
两个式子相除，求极限。
答案是三分之一。这里tanx为分子。如果tanx是分母，tan3x是分子的话，答案才是3。

Answer 2

解：lim(x->π/2)(tanx/tan3x)=lim(x->π/2)(ctan3x/ctanx)
=lim(x->π/2)(ctan'3x/ctan'x)
=lim(x->π/2)((-1/sin^2(3x)*3/(-1/sin^2(x))
=3sin^2(π/2)/sin^2(3π/2)
=3

追问

应该是 tanx=sec^2(x)=1/cos^2(x)

追答

因为x->π/2，cos(π/2)=0，不能用洛必达法则，所以转用ctanx，求导后分母为sin^2(x)和sin^2(3x)，而sin^2(π/2)和sin^2(3π/2)都等于1，可以用洛必达法则

追问

额 我的意思是说 (tanx)'=1/cos²x=sec²x

追答

因为当x->π/2时，sec²x->∞，所以使用洛必达法则是得不到结果的

追问

1/cos²x=sec²x 整理之后得出关于cosx的式子，再上下求导得出的sinx的式子，但结果居然还是1
晕了 ，做了10多道这样的题，就这个不对

追答

求导的时候，不要忘记对3x也要求导，(3x)'=3

追问

求了，这个我知道，我同学也求得1
还是按书上设x=π/2-t的方法，才能得3

追答

你对tanx使用洛必达法则，是舍近求远的办法，越做越复杂的，用ctanx求导一步到位，为什么不用呢？另外要注意，x->π/2，不是x->0