Question

高数中函数连续性与可导性间的关系

教科书上说(1)分段函数若在其间断点的左导数及右导数都存在且相等，则函数在这点可导；（2）函数可导则必连续。这两条结论都未提及函数值间的关系，在做题中因为这个问题而产生了两点疑问，望解答之，并提供详细确切的依据，回答好者另有加分
问题1 试想若函数具有一跳跃间断点，即在此间断点的左右函数值不相等，我们完全可以构造出分段函数使此函数在其间断点的左右导数相等，这样就满足了结论1中的条件，那试问函数在间断点处是否可导呢？（我认为不可导）
问题2 我们同样可以构造这样一个函数，此函数具有可去间断点，该间断点的左右函数值相等，但间断点的函数值与其左右函数值不等，且其左右导数也相等，则这个函数在该间断点必然是可导的，由结论2则其连续，可我们构造出的函数明明存在一个间断点，我们可以说它是不连续的，从而产生了矛盾，这又如何解释呢？

Answer 1

1、首先 照书上说 函数在该点可导则在该点连续 在该点连续却不一定可导 例如Y=|X| 在X=0处，而关于需不需要在该点有定义。连续 条件是左极限等于右极限，即该点极限存在，并且在该点有定义，值等于极限值。可导 只要左导数等于右导数即可，而与该点Y值无关，而从倒数的定义可知该点的Y值必存在即有定义。总结，导数需要左导等于右导且在该点有定义；连续需要在该点极限存在且等于该点y值（== 用式子表示太耗时间~~不好意思）
2、首先 你可以构造的函数必定是有三段，算了，就用高数六版64面的例5吧~你自己找下。X=0处是跳跃间断，并且对整个函数而言该点有定义且为0，但是对于X<0，X>0这两段来说，0处无定义，根据导数的定义式子（你懂得）来说，f(0)必须有定义，而这两段，0已被抠去即没定义，所以在0点的导数已不存在，而那个你怀疑的规律在这里已不适用。
3、第二个问题同上。
总结，一般存在间断点的地方都会特意抠去一点，独做一段，而另外两段则在该点无定义。
这是我自己的学习经验，可能会理解错，你可以参考自己的想法，一起想想~~你是考研吧~我也是！那一起加油吧~~~O(∩_∩)O

Answer 2

1,不可导，因为可到函数首先得是连续函数，间断点 如果是跳跃间断地则必然不可导
2.你理解错了了，函数连续不一定可导，但可导必然连续是对的，但是 问2中你说的可去间断点处函数并不是可导的，你把连续和可导的关系弄错了
应该是这样的：如果遇到一个函数，a：首先分析是否连续如果不连续则一定不可导
b：如果连续（必定不是间断的），看看你要分析的点左右导数是否相等，相等则可导，若不等则不可导
c：如果已知一个函数可导，则此函数在定义域内必定处处连续，处处可导

顺便给你纠正几点，1.你上面所说的构造的函数的确是存在的。2.可去间断点左右导数也是存在的，例如 ：f（x）=|x| （x/=0）:若x=0，f（x）=5，这是一个分段函数，左右导数存在一个是1，一个是-1，不相等，所以不连续，也不可导

Answer 3

楼主应该请再看下导数的定义
问题1的函数很好构造 比如x>=0时f(x)=x^2 x<0时 f(x)=x^2+1 我想你应该是这个意思 你的想法是这时0值点的左右导数都是为0 但却不连续 。但是根据定义这个函数的左导数是不存在的。只有右导数存在。所以不可导。
问题2也是一样 可去间断点 在间断点处左右导数都不存在
楼主问题在于对于导数定义不清楚。f(x+d)-f(x)这里 间断点为什么不可导 其实就是在d趋于0时这个值不趋于0
我想应该说明白了 希望你能理解

Answer 4

你把我都弄迷糊了~~我觉得吧，你所谓的完全可以构造出来的那些函数，都是不存在的啊，要不你给个例子？想书上的y=/x/在x=0处不可导，你可以把x=0设成间断点，但明显左右导数不相等~·具体的我也说不清，反正感觉你假设的那些构造函数都是不可能存在的呢~~