Question

求所有满足如下条件的三位数；它除以11所得的商等于它的各位数的平方和。

Answer 1

个a十b百c
1
如果这个三位数能被11整除
那么a+c=b
(100c+10b+a)=(a^2+b^2+c^2)*11
100c+10c+11a=11a^2+11a^2+11c^2+22ac+11c^2
110c+11a=22a^2+22c^2+22ac
10c+a=2a^2+2c^2+2ac
b<=9,a+c<=9
a=0,10c=2c^2,c=5 b=5,三位数550
a=1,10c+1=2+2c^2+2c, 2c^2-8c+1=0 2(c-2)^2=7,无整数解
a=2, 10c+2=8+2c^2+4c 2c^2-6c+6=0 2(c-3)^2=12无整数解
a=3, 10c+3=18+2c^2+6c 2c^2-4c+15=0 无整数解
a=4,10c+4=32+2c^2+8c 2c^2-2c+28=0无整数解
a=5,10c+5=50+2c^2+10c 2c^2+45=0无整数解
a=6
2
三位数不能被整除
11>=100c+10b+a-11(a^2+b^2+c^2)>0
c=1,11>100+10b+a-11a^2-11b^2-11>0
a=1 11>10b-11b^2+79>=0,b=3, 131
c=2, 11>10b-11b^2+a-11a^2+156>0
a=1,11>10b-11b^2+146>=0,b=4 241
c=3,11>10b-11b^2+a-11a^2+201>0 a=4,b=2有解, 324
c=4,11>10b-11b^2+a-11a^2+224>0 无解
c=5,11>10b-11b^2+a-11a^2+225>0无解
c=6,11>10b-11b^2+a-11a^2+204>0 a=4,b=2,624
c=7,11>10b-11b^2+a-11a^2+161>0 无解
c=8,11>10b-11b^2+a-11a^2+96>0 a=3,b=0,803
c=9,11>10b-11b^2+a-11a^2+9>0 a=0,b=0,b=1,900,910
3)
可整除的仅1个550,不能整除的7个:131\241\324\624\803\900\901

Answer 2

设三个数字依次x,y,z 则100x+10y+z=11(x^2+y^2+z^2)
化为 99x+11y+z+x-y=11(x^2+y^2+z^2)
所以z+x-y=0 或11 （1）z+x-y=0时，y=z+x 且9x+y=x^2+y^2+z^2
代入得：10x+z=2x^2+2xz+2z^2 所以 z是偶数， 且 10x>=2x^2 ==> x<=5
设z=2n 则 x^2+(2n-5)x+4n^2-n=0
若n>=1则 $=(2n-5)^2-4(4n^2-n)=-12n^2-16n+25<-12-16+28<0
所以 只能 n=0,且x=5,y=5+0=5 三位数是 550；（1）z+x-y=0时，y=z+x 且9x+y=x^2+y^2+z^2
代入得：10x+z=2x^2+2xz+2z^2 所以 z是偶数， 且 10x>=2x^2 ==> x<=5
设z=2n 则 x^2+(2n-5)x+4n^2-n=0
若n>=1则 $=(2n-5)^2-4(4n^2-n)=-12n^2-16n+25<-12-16+28<0
所以 只能 n=0,且x=5,y=5+0=5 三位数是 550；

（2）（1）z+x-y=11时，y=z+x-11 且9x+y+1=x^2+y^2+z^2
代入得：10x+z-10=2x^2+2xz+2z^2 -22x-22z+121
所以 z是奇数， 且 z+x>=11且10x>x^2+z^2>=(x+z)^2/2>=61
所以 x>=6 且z>=3 x=6时，50+z=36+z^2+(z-5)^2 ==>2z^2-11z+11=0
$=11^2-4*2*11=33 无整数解
X=7时，60+z=49+z^2+(z-4)^2 ==>2z^2-9z+5=0 解得：$=9^2-4*2*5=41 无整数解
X=8时，70+z=64+z^2+(z-3)^2 ==>2z^2-7z+3=0 解得：$=7^2-4*2*3=25 z=3或1/2（舍）三位数是803
x=9时，80+z=81+z^2+(z-2)^2 ===>2z^2-5z+5=0 $=5^2-4*2*5=-15 无实数解
总之 三位数是550 或803

Answer 3

550 803 就2个

Answer 4

131
241
324
550
624
803
900
910

Answer 5

550