Question

如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于E,求证AE^2=BE^2+AC^2

Answer 1

证明：过C点作CF⊥AB于F点
∵DE⊥AB于E
∴CF//DE
又D是BC的中点
D是BC的中点DE是直角三角形BCF的中线
从而FE=EB ①
在直角三角形ACF与直角三角形ABC中
∵∠ACF=90度-∠BAC，∠ABC=90度-∠BAC
∴直角三角形ACF∽直角三角形ABC(两个角对应相等的两个三角形相似)
从而 AC/AF=AB/AC(相似三角形对应边成比例)
即 AC^2=AB*AF ②
∴AE^2-BE^2=(AE+BE)(AE-BE)
=AB*(AE-BE) ③
由①③得 AE^2-BE^2=AB*(AE-FE)
=AB*AF ④
由②④得 AE^2-BE^2=AC^2
∴AE^2-BE^2=AC^2
即 AE^2=BE^2+AC^2