Question

高一数列的题，，， 帮帮忙了各位学者

1.已知数列{an}的前n项和为Sn=n^2+2n,求证{an}是等差数列
求满足100<an<200的{an}中的所有项的和
2 数列{an}是首相为3，公差为2的等差数列，Sn为其前n项的和
求S=1/s1+1/s2+....+1/Sn的值
3在数列{an}中an=1/n+1 + 1/n+2 +...+n/n+1
令bn=2/an*a(n+1) 求数列{bn}的前n项和

Answer 1

第一题：an=Sn-S（n-1）=2n+1
a1=S1=3
an=2（n-1）+a1
定义{an}是以3为首项，2为公差的等差数列
100<an=2n+1<200 所以50≤n≤99
所以满足100<an<200的{an}中的所有项的和Sn=101+103+...+199=(101+199)*50/2=7500
第二题：由第一题可知Sn=n^2+2n =n（n+2）
1/s1=1/【1*（1+2）】=1/2（1/1-1/3）
同样的1/s2=1/2（1/2-2/4）
1/s3=1/2（1/3/-3/5），1/sn=1/2【1/n-1/（n+2）】
S=1/s1+1/s2+....+1/Sn
=1/2（1/1-1/3）+1/2（1/2-2/4）+1/2（1/3/-3/5）....+1/2【1/n-1/（n+2）】
=1/2*1+1/2*1/2-1/2*1/（n+1）-1/2*1/（n+2）
=3/4-1/2*1/（n+1）-1/2*1/（n+2）
=3/4-1/2（n+1）-1/2(n+1）
第三题
an=1/n+1 + 1/n+2 +...+n/n+1=【n（n+1）/2】/n+1=n/2
bn=2/an*a(n+1)=8/【n（n+1）】=8【1/n-1/（n+1）】
bn前n项和Sn=8【1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4。。。。。+1/（n-1）-1/n+1/n-1/（n+1）】
=8【1-1/（n+1）】
=8-8/（n+1）

Answer 2

Sn=n^2+2n an=Sn-S(n-1)=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1
所以an-a(n-1)=2为定值，故此数列为等差数列
100<an=2n+1<200 所以50≤n≤99
所以满足100<an<200的{an}中的所有项的和Sn=101+103+...+199=(101+109)*50/2=5250

由第一题可知Sn=n^2+2n =n（n+2）
S=1/s1+1/s2+....+1/Sn
=1/1*3+1/2*4+1/3*5....+1/n(n+2)
=1/2{（1/1-1/3）+（1/2-1/4）+（1/3/-1/5）....+[1/n-1/（n+2）]}
=1/2*{1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)}
=3/4-1/2*1/（n+1）-1/2*1/（n+2）