Question

急求解答高三数学函数题目，谢谢~

若平面点集A中的任一点（X0，Y0），总存在正实数r，使得集合{（x,y)/[(x-x0)^2+(y-y0)^2]^(1/2)<r}是A的子集，则称A为一个开集，给出下列集合：
1、{（x,y)/x^2+y^2=1}
2、{(x,y)/x+y+2>0}
3、{(x,y)/-6<=x+y<=6}
4、{{(x,y)/0<x^2+(y-根号2）^2<1}
他的答案是2和4，为什么呢？但是我有点感觉好像答案有点不对吧。。。

Answer 1

新定义的含义是，对于任意的集合A中的点，以此点为圆心作圆，肯定存在一个圆，这个圆在集合A的区域内。
1、这个集合是圆周，注意：是圆周，肯定不是开集；
2、这是个以直线x＋y＋2=0为边界的区域(不包含边界的)，在其中任取一点，以此点为圆心作圆，肯定存在一个圆，是完全落在这个区域内。从而这是个开集；
3、3和2的区别就在于3是有边界的，若点取在边界上，则无法做到，也就是说这个不是开集；
4、4和1的区别是，1是圆周，4是圆盘(含有内部且不包含边界的。若包含边界，则就不是开集了)，是可以满足新定义的，是开集。
所以，这几个选项中，2、4是开集，1、3不是开集。