Question

大家看看这道证明题哪里不对？

已知a=0.9999…，求证a=1。

因为a=0.9999…，则10a=9.9999…=9+0.9999…，
即10a=9+a，解这个一元一次方程，得出a=1。.

是逻辑有问题，还是哪里不对劲？

Answer 1

答案是正确的~~a=1~~即1=0.99999999...
因为这是极限的思想,要你学习极限以后才能懂的.
但我看到一个方法,希望有用.
1、任何一个无限循环小数是一个有理数，必然能表示为一个分数m/n，其中m和n是整数；
2、很显然0.9999999...是一个无限循环小数，所以0.9999999...=M/N，其中M和N是固定的整数；
3、由于0.9999999...<=1，所以0<M<=N；
4、另外，对于指定的小数位数i，0.9999999...>0.999999..99(i个9)=(10^i-1)/10^i=1-1/10^i；
5、所以：1>=M/N>1-1/10^i，i可以是任意的正整数；
6、对于M<N，总能找到一个r，使1-1/10^r>M/N【见附注】；
7、所以：0.9999999...=M/N<1-1/10^r；
8、结合7和5，1-1/10^i<M/N<1-1/10^r，而当i>r时，有1-1/10^i>1-1/10^r；
9、所以M<N不成立，只能是M=N，即0.9999999...=1

建议去看一下有关极限的书籍,这是高等数学的东西.
但是0.9999999.......=1是正确的,是数学上众所周知的.

Answer 2

10a=9.9999…
这一步是不严谨的
0.9999… 是无限循环小数
简单地说，它是0.9+0.09+0.009+……这个无穷等比数列的和
对于无限项，加法、减法和乘法交换律 结合律 分配率 消去率只有在一定条件下才能使用。
所以，你只需要求出0.9+0.09+0.009+……它的极限是1就算是证明了。

Answer 3

这道题证明最好的办法是用分数：如下：
a=0.9999....
=0.3333...+0.3333...+0.3333...
=1/3+1/3+1/3
=1