Question

设实数a，b，c满足1≤a≤2≤b≤c，且a+b+c=abc，试说明：a+b+c≤6。

设实数a，b，c满足1≤a≤2≤b≤c，且a+b+c=abc，试说明：a+b+c≤6。

Answer 1

c=(a+b)/(ab-1)
令s=a+b+c=ab(a+b)/(ab-1)=(a²b+ab²)/(ab-1)
令t=2a(a+2)/(2a-1)=(2a²+4a)/(2a-1)
s-t=(a²b+ab²)/(ab-1)-(2a²+4a)/(2a-1)=((2aa²b+2a²b²-a²b-ab²)-(2aa²b+4a²b-2a²-4a))/(ab-1)(2a-1)
=a(2ab²-5ab-b²+2a+4)/(ab-1)(2a-1)
=a((2b²-5b+2)a-(b²-4))/(ab-1)(2a-1)
=a((2b-1)(b-2)a-(b+2)(b-2))/(ab-1)(2a-1)
=a(b-2)(2ab-a-b-2)/(ab-1)(2a-1)

由于2<=c=(a+b)/(ab-1)，所以2ab-2-a-b<=0，所以a+b+c=s<=t=(2a²+4a)/(2a-1)
t-6=(2a²+4a-12a+6)/(2a-1)=(2a²-8a+6)/(2a-1)=(2a-2)(a-3)/(2a-1)
在1<=a<=2的范围内，t<=0
所以a+b+c=s<=t<=6

追问

s=a+b+c？唔……好像有问题吧……

追答

s就是个记号，写起来更清楚而已，你觉得哪里有问题？

追问

要是s=a+b+c，你的ab(a+b)/(ab-1)又是什么？显然是s=abc啊……那么你后面的证明一概错误，对吧？

追答

题目的条件就是a+b+c=abc呀，s=a+b+c当然s=abc了