Question

高中数学题（推理与证明）

Answer 1

证明：由题意，a,b,c和A,B,C都成等差数列，那么a+c=2b，A+C=2B，所以B=60度，A+C=120度
由三角形正弦定理：b/SinB=a/SinA=c/SinC，所以有：2b/SinB=a/SinA+c/SinC
所以：(a+c)/SinB=a/SinA+c/SinC=(a*SinC+C*SinA)/(SinA*SinC)
整理一下这个等式有：(a+c)*SinA*SinC=a*SinB*SinC+c*SinB*SinA
左边括号打开，继续整理有：a*SinC*(SinA-SinB)=c*SinA*(SinB-SinC)
由前面提到的正弦定理，a/SinA=c/SinC，所以a*SinC=c*SinA，所以上式子化简为：SinA-SinB=SinB-SinC，
即：SinA+SinC=2SinB=2Sin60=根号3
注意到A+C=120度
所以：SinA+Sin(120-A)=根号3
由和差化积公式“sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]”可知：
SinA+Sin(120-A)=2*Sin60*Cos(A-60)=根号3
所以Cos(A-60)=1，由于A是三角形内角，范围是0到180，所以A只可能是60度
所以A=B=C=60度，即证。

Answer 2

由题可得2B=A+C,2b=a+c
因为A+B+C=180o则有3B=180o所以B=60o所以cos60o=?
有余弦定理，b2=a2+c2-2acXcos60o=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac
由于2b=a+c
所以b2=4b2-3ac即b2=ac
所以a，b，c又成等比数列
即其公比为1
所以a=b=c
即所求三角形为等边三角形

Answer 3

2B=A+C A+B+C=180°
所以B=60°
2b=a+c 正弦定理
a/sinA=b/sainB=c/sinC=2R
∴a=sinA2R 同理b=sinB2R c=sinC2R
带入2b=a+c 2sinB=sinA+sinC
又sinB+sin(A+C)带入化简得A=C 结合B=60°就是等边

Answer 4

A+C+B=180,2B=A+C,2B+B=180,B=60
2b=a+c,2b/a=1+c/a
2sinB/sinA=1+sinC/sinA
2sinB/sinA=1+sinC/sinA
把A=120-C，sinB=60代入上式，化简得
最后得B=60