Question

已知椭圆x^2/45+y^2/20=1焦点分别为F1、F2,过中心O作直线与椭圆交于A、B,△ABF2面积最大时求此时直线AB方

Answer 1

已知椭圆x^2/45+y^2/20=1焦点分别为F1、F2,过中心O作直线与椭圆交于A、B,△ABF2面积最大时求此时直线AB方程。
解：椭圆方程：x²/45+y²/20=1，c²=45-20=25，c=5，b=2√5
F2（5，0）
当斜率不存在的时候，直线AB方程x=0
F2到AB距离=5
AB=2b=4√5
所以S三角形AF2B=1/2×5×4√5=10√5
当AB斜率存在时候
设直线AB：y=kx
代入椭圆方程，整理：(9k²+4)x²-180=0
韦达定理：x1+x2=0，x1×x2=-180/(9k²+4)
利用弦长定理：AB=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]=√(1+k²)[720/(9k²+4)]
F2到直线距离d=｜5k｜/√(1+k²)
S三角形AF2B=1/2×d×AB=1/2×｜5k｜×√[720/(9k²+4)]=10√5×√[9k²/(9k²+4)]
9k²/(9k²+4)=(9k²+4-4)/(9k²+4)=1-4/(9k²+4)
9k²+4无最大值，所以4/(9k²+4)无最小值，
那么三角形ABC的面积S取值：0<S≤10√5
当S取最大值的时候，直线AB方程：x=0

Answer 2

还没学。。。。