Question

已知实数x,y满足方程x^2+y^2-4x-2y+4=0. （1）求x+y的最小值和最大值。 （2）求y/x的取值范围。

Answer 1

因为x^2+y^2-4x-2y+4=0
所以x^2+y^2-4x-2y+4+1=1
即(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1
可令x = 2+sina, y = 1+cosa， 0<=a<2PI
(1)
x+y = 3 + sina + cosa = 3 + (根号2)*sin(PI/4 + a)
所以3-根号2<=x+y<= 3+根号2
最小值是3-根号2，最大值是3+根号2
(2)
y/x = (1+cosa) / (2+sina)
= 2cos(a/2)^2 / (2 + 2sin(a/2)cos(a/2))
= 1 / (sec(a/2)^2 + tan(a/2))
= 1 / (tan(a/2)^2 + tan(a/2) + 1)
= 1 / [(tan(a/2) + 1/2)^2 + 3/4]
因为(tan(a/2) + 1/2)^2 >= 0
所以0 < y/x <= 1 / (3/4) = 4/3

即取值范围为 0 < y/x <= 4/3