Question

高一三角函数题

1.在锐角三角形ABC中，sinA+inB+sinC的取值范围。
2.若x属于（0，π），则f（x）=（1+cosx）*sinx/2 的最大值是？ （答案是4根号3。我想知道是怎么求的）
重点是第一题，用高一（奥数）方法来解
是sinB，我打错了

Answer 1

(1)sinA+sinB+sinC=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+sinC
由A+B+C=π有A+B=π-C
对于半个特定的C,A+B必为定值，些时要2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+sinC最大必有cos[(A-B)/2]=1，即A=B
由A、B、C的对称性有当：A=B=C时sinA+sinB+sinC取最大值
这叫做逐步调整法
也可以用y=sinx在区间[0,π]内为上凹函数来求
sinA+sinB+sinC=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+sin(A+B)
=2sin[(A+B)/2]{cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]}
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)这样的公式好象不能求出最值

=(1+cosx) (1+cosx) (1+cosx) (1-cosx)

=(1+cosx) (1+cosx) (1+cosx) (3-3cosx)/3

≤[(1+cosx)+ (1+cosx) +(1+cosx) +(3-3cosx)]^4/4^4×1/3

=27/16

∴y≤3√3/4，∴当(1+cosx) =(3-3cosx)时，即cosx=1/2时

y取最大值为3√3/4（以上使用的定理为均值定理）
参考资料：http://ks.cn.yahoo.com/question/1407121000352.html

追问

能不能顺便把第二问处理了？

Answer 2

1.sinA+sinB+sinC>=3*3^根(sinA*sinBsinC),当且仅当sinA=sinB=sinC，函数取得最小值为3根3/2
2.(1+cosx)*sinx/2=sinx/2+sin2x/4
f'(x)=cosx/2+cos2x/2令f'(x)=0
驻点为x=60度，cos2x/2+cosx/2=0
所以最大值为f(pi/3)=(3/2)*(根3/4)=3根3/8

Answer 3

第一问 到学校给你看 。搞定过了
第二问求导， 最后导数是二次函数，令等于0即可

追问

你这不是强盗逻辑吗？