Question

f(x)的一个原函数是ln(1+x)，求∫sinxf(cosx) dx. 求解这道题，请给出解题过程。

Answer 1

由f(x)的一个原函数是ln(1+x)知f(x)=1/(1+x),故
∫sinxf(cosx) dx
=∫sinx/(1+cosx)dx
=∫-1/(1+cosx)dcosx
=∫-1/(1+cosx)d(1+cosx)
=-ln(1+cosx)+c

追问

f(x)=1/(1+x)是怎么知道的

追答

假设x>0，如果我们要求自然对数lnx的导数，用定义，
ln(x+h)-lnx
=ln[(x+h)/x]
=ln(1+h/x)
=(h/x)ln(1+h/x)^(x/h)
所以
[ln(x+h)-lnx]/h
=(1/x)ln(1+h/x)^(x/h)
令h趋于0并取极限得
(lnx)'
=(1/x)ln[lim_{h趋于0}((1+h/x)^(x/h))]
=(1/x)lne
=1/x
这里用到(1+a)的1/a次方当a趋于0时为e，而e的自然对数lne=1.
故1/x的一个原函数是lnx，所有的原函数是lnx+常数C。
在上式中用1+x代替x，得到ln(1+x)的导数为1/(1+x)，故由f(x)的一个原函数是ln(1+x)知f(x)=1/(1+x)。
一般最好记住一些常用的函数的导数，这样看见这些函数的导数，才能知道原函数是什么。下面是一些基本的初等函数导数公式：
y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0
f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方)
f(x)=sinx f'(x)=cosx
f(x)=cosx f'(x)=-sinx
f(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)
f(x)=e^x f'(x)=e^x
f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)
f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)
f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 x
f(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 x
导数运算法则如下
(f(x)+/-g(x))'=f'(x)+/- g'(x)
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2

Answer 2

f(x)=1/(1+x), ∫sinxf(cosx) dx=∫sinx/(1+cosx)dx=-∫1/(1+cosx)dcosx=-ln(1+cosx)+c

追问

f(x)=1/(1+x)是怎么知道的

追答

∫f(x)=ln(1+x)，