Question

如图，直线AC平行BD，连接AB，BD及线段AB把平面分成1，2，3，4四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，

1)当动点P落在第①部分时,试判断∠APB与∠PAC+∠PBD的数量关系,并说明理由
2)当动点P落在第②部分时,(1)中的结论是否成立，请说明理由
3）当点P落在第3部分时，全面探究角PAC，角APB，角PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。（两种证明方法） （具体步骤）

Answer 1

解：

1）

如图过平点做平行线PQ‖ AC‖BD则

∠APB=∠APP’+∠BPP’=∠PAC+∠PBD

2)

如P在P’位置

∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠PAC’+∠PBD’

=（180°– ∠PAC） + （180°– ∠PBD）

=360 – （∠PAC+∠PBD）

3）

如图过平点做平行线PQ‖ AC‖BD则

∠APB=∠PEC – ∠PAC=∠PBD – ∠PAC

如P在P’位置

∠APB=∠PE’C’ - ∠PAC’ =∠PBD’ - ∠PAC’

=(180°– ∠PBD)  –  (180°– ∠PAC)

=∠PAC – ∠PBD

综合以上知道∠APB=|∠PBD – ∠PAC|  即∠PBD – ∠PAC的绝对值；

Answer 2

（1）如图1延长BP交直线AC于点E，由AC‖BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；
（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．解答：解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．
∵AC‖BD，∴∠PEA=∠PBD．
∵∠APB=∠PAE+∠PEA，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

解法二：如图2
过点P作FP‖AC，
∴∠PAC=∠APF．
∵AC‖BD，∴FP‖BD．
∴∠FPB=∠PBD．
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD；

解法三：如图3，
∵AC‖BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
（3）（a）
当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB．
（b）当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，
∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．
（c）当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．
选择（a）证明：
如图4，连接PA，连接PB交AC于M．
∵AC‖BD，
∴∠PMC=∠PBD．
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
选择（b）证明：如图5
∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．
∵AC‖BD，∴∠PBD=∠PAC．
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．
选择（c）证明：
如图6，连接PA，连接PB交AC于F
∵AC‖BD，∴∠PFA=∠PBD．
∵∠PAC=∠APF+∠PFA，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD

Answer 3

你好！
考点：平行线的性质；角平分线的性质．
专题：动点型；探究型．
分析：（1）如图1延长BP交直线AC于点E，由AC‖BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；
（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．
解答：解：（1）解法一：延长BP交直线AC于点E．
∵AC‖BD，∴∠PEA=∠PBD．
∵∠APB=∠PAE+∠PEA，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

解法二：
过点P作FP‖AC，
∴∠PAC=∠APF．
∵AC‖BD，∴FP‖BD．
∴∠FPB=∠PBD．
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD；

解法三：
∵AC‖BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
（3）（a）
当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB．
（b）当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，
∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．
（c）当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．
选择（a）证明：
如图4，连接PA，连接PB交AC于M．
∵AC‖BD，
∴∠PMC=∠PBD．
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
选择（b）证明：如图5
∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．
∵AC‖BD，∴∠PBD=∠PAC．
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．
选择（c）证明：
如图6，连接PA，连接PB交AC于F
∵AC‖BD，∴∠PFA=∠PBD．
∵∠PAC=∠APF+∠PFA，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
点评：此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路．

或者：考点：平行线的性质；三角形内角和定理．
专题：动点型；探究型．
分析：（1）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质将∠PAC，∠PBD等量转化，证出结论．
（2）过点P作AC的平行线PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC与∠APQ是一对同旁内角，∠QPB与∠PBD也是一对同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，发现三个角的和是360度．
（3）根据BA的延长线上，或两侧分别解答．
解答：解：（1）过点P作直线AC的平行线，易知∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，
又因为∠APB=∠1+∠2，所以∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．
过点P作AC的平行线PQ，∠APB=∠1+∠2，∵直线AC‖BD，∴∠PAC+∠1=180°，∠PBD+∠2=180°，∴∠PAC+∠1+∠PBD+∠2=360°，故∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．

（3）设射线BA将区域③分成Ⅰ、Ⅱ两部分，
①若点P位于第Ⅰ部分，则∠PBD=∠3，∠PAC+∠APB=∠3，
所以∠APB=∠PBD-∠PAC（2分），
②若点P位于第Ⅱ部分，则∠PBD=∠6+∠ABD，∠PAC=∠4+，∠ABD=∠5，
所以∠PAC-∠PBD=∠4-∠6，而∠6+∠APB=∠4，
所以∠APB=∠PAC-∠PBD．
点评：通过动点P所在的不同位置而得出不同结论的探究，训练学生的发散思维能力．

祝楼主钱途无限，事事都给力！

Answer 4

（1）解法一：如图9-1
延长BP交直线AC于点E
∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .
∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .

解法二：如图9-2
过点P作FP∥AC ,
∴ ∠PAC = ∠APF .
∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .
∴ ∠FPB =∠PBD .
∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .
解法三：如图9-3，
∵ AC∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°
即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.
又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,
∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .
（2）不成立.
（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.
(c) 当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .
选择(a) 证明：
如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M
∵ AC∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .
选择(b) 证明：如图9-5
∵ 点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.
选择(c) 证明：
如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F
∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .
∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,
∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .

Answer 5

请看这个文档的例3
http://wenku.baidu.com/view/f1c7df04cc1755270722083c.html