Question

高中数学函数问题

对于函数f(x)=x/(1+|x|) ，x∈R
若f1(x)=f(x),f(n+1)(x)=f[fn(x)],n∈N+
证明:fn(x)=x/(1+n|x|)对任意n∈N+恒成立

Answer 1

归纳法：
f1(x)=f(x)=x/(1+|x|) ，f2(x)=f(f1(x))=x/(1+2|x|)
f3(x)=f(f2(x))=x/(1+3|x|) ……
假设：fn(x)=x/(1+n|x|)成立
则f(n+1)(x)=f(fn(x)) =x/(1+(n+1)|x|)
所以fn(x)=x/(1+n|x|)对任意n∈N+恒成立

Answer 2

f(x)=x/(1+|x|) x>0,f(x)=x/(1+x) f2(x)=x/(1+2x)假设f(n)(x)=x/(1+nx) 那么f(n+1)(x)=x/[1+(n+1)x] 所以fn
(x)=x/(1+nx)对任意正整数n都成立x<=0,f(x)=x/(1-x)fn(x)=x/(1-nx)对任意正整数n都成立时所以,结论成立