Question

1的1次方+2的2次方+3的3次方+4的4次方+5的5次方+6的6次方+7的7次方+8的8次方+9的9次方的和被3除的余数是多

Answer 1

不蛮干的办法是这样的：
首先排除3^3 6^6 9^9，他们除以3的余数都是0
1^1 除以 3 的余数是 1
2^2 除以3的余数是1
4^4 = 16 * 16: 16除以3余数1，16个余数1 = 16，16除以3余数1，所以4^4除以3余数为1
5^5 = 125 * 25: 125除以3余数2，25个余数2 = 50，50除以3余数2，所以5^5除以3余数为2
7^7 = 49 * 49 * 49 * 7: 49除以3余数1，49个余数1 = 49，49除以3余数1，49个余数1 = 49，49除以3余数1，7个余数1 = 7，7除以3余数1，所以所以7^7除以3余数为1
8^8 = 64 * 64 * 64 * 64: 64除以3余数1，64个余数1 = 64，64除以3余数1，64个余数1 = 64，64除以3余数1，64个余数1 = 64，64除以3余数1，所以所以8^8除以3余数为1
综上，余数有：1，1，2，1，1，1
（1+1+2+1+1+1）除以3，余数1

所以整体算式余数为1

Answer 2

因为所有的数都可以表示为3N或3N+1、3N-1，
3N的任何次方肯定能被3整除
3N+1的任何次方都是3M+1的形式，被3整除，余1
3N-1的偶数次方都是3M+1的形式，被3整除，余1
3N-1的奇数次方都是3M-1的形式，被3整除，余-1
因此本题可等同于 1+1+0+1-1+0+1+1+0=4，因此被3除的余数是1

Answer 3

3^3、4^3、5^3、6^6、7^6、8^6、9^9能被3整除
所以，1的1次方+2的2次方+3的3次方+4的4次方+5的5次方+6的6次方+7的7次方+8的8次方+9的9次方的和除以3的余数，就是：1^1+2^2+4^1+5^2+7^1+8^2除以3的余数
1^1/3的余数是1
2^2/3的余数是1
4^1/3的余数是1
5^2/3的余数是1
7^1/3的余数是1
8^2/3的余数是1
1^1+2^2+4^1+5^2+7^1+8^2除以3的余数=（1+1+1+1+1+1）除以3的余数，为0
即：1的1次方+2的2次方+3的3次方+4的4次方+5的5次方+6的6次方+7的7次方+8的8次方+9的9次方的和可以被3整除

Answer 4

不蛮干的办法是这样的：
首先排除3^3 6^6 9^9，他们除以3的余数都是0
1^1 除以 3 的余数是 1
2^2 除以3的余数是1
4^4 = 16 * 16: 16除以3余数1，16个余数1 = 16，16除以3余数1，所以4^4除以3余数为1
5^5 = 125 * 25: 125除以3余数2，25个余数2 = 50，50除以3余数2，所以5^5除以3余数为2
7^7 = 49 * 49 * 49 * 7: 49除以3余数1，49个余数1 = 49，49除以3余数1，49个余数1 = 49，49除以3余数1，7个余数1 = 7，7除以3余数1，所以所以7^7除以3余数为1
8^8 = 64 * 64 * 64 * 64: 64除以3余数1，64个余数1 = 64，64除以3余数1，64个余数1 = 64，64除以3余数1，64个余数1 = 64，64除以3余数1，所以所以8^8除以3余数为1
综上，余数有：1，1，2，1，1，1
（1+1+2+1+1+1）除以3，余数1

所以整体算式余数为1

Answer 5

1的1次方+2的2次方+3的3次方+4的4次方+5的5次方+6的6次方+7的7次方+8的8次方+9的9次方的和=405071317
除3余1