Question

已知α-β=π/3,证明cos²α+cos²β+sinα*sinβ为定值

Answer 1

楼上错了。
正确答案：
cos²α+cos²β+sinα*sinβ
=(1+cos2α)/2+(1+cos2β)/2+sinα*sinβ （降幕公式）
=1+(cos2α+cos2β)/2+sinα*sinβ
=1+{2cos[(2α+2β)/2]*cos[(2α-2β)/2]}/2+sinα*sinβ （和差化积）
=1+cos(α+β)*cos(α-β)+sinα*sinβ
=1+cos(α+β)/2+sinα*sinβ （ cos(α-β)=1/2 代入）
=1+(cosα*cosβ-sinα*sinβ)/2+sinα*sinβ （正用两角和的余弦公式）
=1+(cosα*cosβ+sinα*sinβ)/2
=1+cos(α-β)/2 （逆用两角差的余弦公式）
=1+1/4 （ cos(α-β)=1/2 代入）
=5/4。

Answer 2

cos²α+cos²β+sinα*sinβ=(1+cos2α)/2+(1+cos2β)/2+sinα*sinβ
=1+(cos2α+cos2β)/2+sinα*sinβ
=1+{cos[(α+β)+(α-β]+cos[(α+β)-(α-β]}/2+sinα*sinβ
=1+cosα*cosβ+sinα*sinβ
=1+cos(α-β)=1+cos(π/3)=1+1/2=3/2