Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0）的图像经过原点，f'(1)=0若f（x）在x=-1取得极大值2

（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若对任意的x属于〔-2，4〕都有f（x）≥f’（x）+6x+m，求m的最大值

Answer 1

f(0)=0,d=0,f(x)=ax^3+bx^2+cx=ax(x^2+bx/a+c/a)因该函数在x=-1时取得极大值,所以有
(b/a)^2-4c/a=0,b^2=4ac (1)
又f(-1)=2,-a+b-c=2 (2)
f'(x)=3ax^2+2bx+c,f'(-1)=0,3a-2b+c=0 (3)
解(1)、(2)、(3)，得到
a=-1/2,b=-3,c=-9/2.
f(x)=-x^3/2-3x^2-9x/2
f'(x)≥f'(x)+6x+m,6x+m≤0，x≤-m/6,m≤-6x,
又-2≤x≤4,m≤-24.m最大值为-24。

追问

不用直接复制粘贴过来......这是错答案吧

追答

噢，sorry.

解：(1)由条件可得d=0，3+2b+c=0，c<0，|(c-2)/(1+2c)|=1，∴c=-3，b=0
∴f (x)=x³-3x.
(2)f ′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1).
令f ′(x)=0得x=±1；令f (x)=2得x=2或x=-1；令f (x)=-2得x=-2或x=1

提示这么多，后面自己算吧。

Answer 2

1：过原点，d=0
f'(x)=3ax^2+2bx+c；f'(1)=3a+2b+c=0
若f（x）在x=-1取得极大值2，所以f'(-1)=3a-2b+c=0，b=0
f(-1)=-a+b-c=2
a=1；c=-3
f (x)=x^3-3x
2：令g(x)=f(x)-f'(x)-6x=x^3-3x^2-9x-3
在[-2,4]上恒大于m
g'(x)=3(x^2-2x-3)
g'(x)=0：x=-1或x=3
g(-2)=-5；g(3)=-30
所以m最大值为-30

Answer 3

函数图像经过圆点，所以f（0）=0，则d=0 ①；
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f'(1)=0，则3a+2b+c=0 ②；
f（x）在x=-1取得极大值2，则f'(-1)=0, 3a-2b+c=0 ③；
且f（-1）=2，-a+b-c=2 ④；
由以上四式得：
a=1，b=0，c=-3，d=0