Question

如图已知抛物线y=1/2x²+bx+c与y轴交于C,与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2,0），点C的坐标为（0，-1）

在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

3）（分析：首先，有三大种情况，即三角形三条边分别为底，继续往下做，再看有没有细分的情况）
①AC为底
（分析：这种最简单，因为AC边是完全已知的，就可以利用底边中线和垂线合一，可知P点必在AC中垂线上，作AC的中垂线，与BC交点即为P）
AC中点：(1,－1/2)
∴AC中垂线：y＋1/2＝－2(x－1)，即y＝－2x＋3/2
直线BC：y＝－x－1
二者联立，解得：x＝5/2，y＝－7/2
∴P(5/2,－7/2)
②PC为底
（分析：剩下两种情况都是一腰已知，方法类似，就没什么顺序了。方法就是根据等腰这条性质，以顶点为圆心以腰的长度为半径作圆，与BC的交点即为P）
|AC|＝√5，A(2,0)
∴⊙A：(x－2)²＋y²＝5
直线BC：y＝－x－1
二者联立，解得：x＝0，y＝－1（就是点C，舍）或x＝1，y＝－2
∴P(1,－2)
③PA为底
（分析：同②，不过显然这次圆与直线有两个交点，所以此情况又有两小情况，总共即为四种情况）
|AC|＝√5，C(0,－1)
∴⊙C：x²＋(y＋1)²＝5
直线BC：y＝－x－1
二者联立，解得：x＝√10/2，y＝－√10/2－1或x＝－√10/2，y＝√10/2－1
∴P(√10/2,－√10/2－1)或(－√10/2,√10/2－1)
答：P的坐标为(5/2,－7/2)或(1,－2)或(√10/2,－√10/2－1)或(－√10/2,√10/2－1)。

Answer 2

解：
（1）将A(2,0)，C(0,－1)代入解析式：
2＋2b＋c＝0，c＝－1
∴b＝－1/2
答：抛物线解析式为y＝1/2x²－1/2x－1。
（2）直线AC：y＝1/2x－1
∵点E在AC上
∴可设E(x,1/2x－1)，其中0＜x＜2
∵DE⊥x轴于D
∴D(x,0)
∵DE⊥x轴
∴S△DCE＝1/2|OD|·|DE|＝1/2x(1－1/2x)＝－1/4x²＋1/2x＝－1/4(x－1)²＋1/4
∴当x＝1时，S△DCE最大
答：D(1,0)。
（3）（分析：首先，有三大种情况，即三角形三条边分别为底，继续往下做，再看有没有细分的情况）
①AC为底
（分析：这种最简单，因为AC边是完全已知的，就可以利用底边中线和垂线合一，可知P点必在AC中垂线上，作AC的中垂线，与BC交点即为P）
AC中点：(1,－1/2)
∴AC中垂线：y＋1/2＝－2(x－1)，即y＝－2x＋3/2
直线BC：y＝－x－1
二者联立，解得：x＝5/2，y＝－7/2
∴P(5/2,－7/2)
②PC为底
（分析：剩下两种情况都是一腰已知，方法类似，就没什么顺序了。方法就是根据等腰这条性质，以顶点为圆心以腰的长度为半径作圆，与BC的交点即为P）
|AC|＝√5，A(2,0)
∴⊙A：(x－2)²＋y²＝5
直线BC：y＝－x－1
二者联立，解得：x＝0，y＝－1（就是点C，舍）或x＝1，y＝－2
∴P(1,－2)
③PA为底
（分析：同②，不过显然这次圆与直线有两个交点，所以此情况又有两小情况，总共即为四种情况）
|AC|＝√5，C(0,－1)
∴⊙C：x²＋(y＋1)²＝5
直线BC：y＝－x－1
二者联立，解得：x＝√10/2，y＝－√10/2－1或x＝－√10/2，y＝√10/2－1
∴P(√10/2,－√10/2－1)或(－√10/2,√10/2－1)
答：P的坐标为(5/2,－7/2)或(1,－2)或(√10/2,－√10/2－1)或(－√10/2,√10/2－1)。