Question

已知函数f（x）=ax*3+cx+d（a不等于0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取的极值-2.

(1)求函数f(x)的解析式
(2)当x属于[-3,3]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

因为为奇函数,所以f(0)=0，则d=0，f'(x)=3ax^2+c,又因为,当x=1时f(x)取的极值-2，f'(1)=3a+c=0
f(1)=a+c=-2.得:a=1，c=-3.则f(x)=x^3-3x
f'(x)=3x^2-3=0，x=1或x=-1，所以当[-3,-1]时,f'(x)>0，所以为增函数
当[-1,1]时,f'(x)<0，所以为减函数
当[1,3]时,f'(x)>0，所以为增函数
因为f(-1)=-4，f(3)=18，所以f(x)在[-3,3]的最大值为18,.
因为f(x)<m恒成立,所以m的取值范围为m>18

Answer 2

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a不等于0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取的极值-2.
(1)求函数f(x)的解析式
(2)当x属于[-3,3]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围
解：(1) f(-x)=-ax³-cx+d=-(ax³+cx+d)=-f(x), 故d=0..............(1)
f′(x)=3ax²+c; x=1是极值点，故f′(1)=3a+c=0..................(2)
又f(1)=a+c+d=-2..............................................................(3)
三式联立求解，即得 a=1；c= -3，d=0
故解析式为f(x)=x³-3x.
(2).令f′(x)=3x²-3=0，得驻点x=±1.
f〃(x)=6x, f〃(1)=6>0,故x=1是极小点； f〃(-1)=-6<0,故x=-1是极大点。
-1∈[-3,3], f(-1)=-1+3=2； f(-3)=-27+9=-18， f(3)=27-9=18
故应取m>18.
【由此例可知：函数的极值不一定是函数的最值，函数的最值往往发生在区间端点上】