Question

数学 一个关于空间向量的运算

已知向量a不平行向量c，向量b≠0，（a•b)•c=(b•c)•a，向量d=a+c，则向量b和d的夹角为？

Answer 1

解：由向量a不平行向量c及（ab)c=(bc)a知，ab=0且bc=0
即向量b垂直向量a，向量b垂直向量c，故向量b垂直于向量a与向量c构成的平面
又向量d=a+c，即d在向量a与向量c构成的平面内，故向量b和d垂直，则向量b和d的夹角为90度

Answer 2

已知向量a不平行向量c，向量b≠0，（a•b)•c=(b•c)•a，向量d=a+c，则向量b和d的夹角为？
解：(a•b)•c=[│a││b│cosα]c， α为向量a, b的夹角。
(b•c)•a=[│b││c│cosβ]a， β是向量b，c的夹角。
已知 [│a││b│cosα]c=[│b││c│cosβ]a，故[│a│cosα]c=[│c│cosβ]a
设│a│cosα＝λ₁， │c│cosβ＝λ₂，于是有λ₁c=λ₂a
b•d=b•(a+c)=│b││a+c│cosγ
∴cosγ=[b•(a+c)]/[│b││a+c│]=(b•a+b•c)/[│b││a+c│]
=[│a││b│cosα+│b││c│cosβ]/[│b││a+c│]
=[│a│cosα+│c│cosβ]/│a+c│
=(λ₁+λ₂)/│a+c│
【a•b是个数量，b•c也是一个数量。（a•b)•c就是一个数量乘一个向量，（b•c)•a也是一个数量
乘一个向量，二者相等，说明a‖c.故题目本身就有问题！