Question

证明实对称矩阵与对角矩阵相似

矩阵为：第一行：2 1/n 1/n 1/n…… 1/n
第二行：1/n 4 1/n 1/n…… 1/n
.。
。
。
第n行：1/n 1/n 1/n 1/n ……2n
如何证明此矩阵与对角矩阵相似？谢谢！

Answer 1

求此矩阵的特征多项式 |A-λE| 比较麻烦.
2 - λ 1/n 1/n 1/n…… 1/n
1/n 4 -λ 1/n 1/n…… 1/n
......
1/n 1/n 1/n 1/n ……2n-λ

先说明特征值不等于 2k - 1/n, k = 1,2,...,n
比如当k=1时, 如果特征值 = 2 - 1/n, 则行列式
1/n 1/n 1/n 1/n…… 1/n
1/n 4 -λ 1/n 1/n…… 1/n
......
1/n 1/n 1/n 1/n ……2n-λ
第1行减其余各行即可知 行列式不为零. 所以 2-1/n 不是特征值.
所以 2k - 1/n - λ 不等于0.

这样的话就可以求出特征多项式了. 可参照楼上用的加边法,
|A-λE| =
1 1/n 1/n 1/n 1/n ...... 1/n
0 2 - λ 1/n 1/n 1/n…… 1/n
0 1/n 4 -λ 1/n 1/n…… 1/n
......
0 1/n 1/n 1/n 1/n ……2n-λ
第1行乘 -1 加到其余各行 得
1 1/n 1/n …… 1/n
-1 2-λ -1/n 0 ............ 0
.
.
.
-1 0 0 2n-λ-1/n
再把第 k 列 乘 1/(2k-λ -1/n) 加到第1列, k=2,3,...n, 得上三角行列式.
即得特征多项式. 太繁, 你可自己写出.

但是即使是求出特征多项式, 它的根也是个难题.
你这题目是原题??
若是证明A与对角矩阵相似, 直接因为它是实对称矩阵就行了, 太简单!
若是让求可逆矩阵P, 满足 P逆AP = 对角矩阵, 太难了!
我没招了, 投降! 呵呵

追问

原题就是要证明这个矩阵与对角矩阵相似，我理解应该是证明为什么会相似，而不是直接利用实对称矩阵与对角矩阵相似的定理。
不然，这道题就不是一道证明题了，哈哈
不过还是要谢谢你哈，已经帮到我很多了，我试一下按照你的方法能不能解除行列式来