Question

高2数学推理与证明

（1） F（X）=1/（3的X方+根号3），先分别求F（0）+F（1），F（-1）+F（2），F（-2）+F（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明。

（2）1，证明函数F（X）=-X方+2X在（-无穷，1闭区间，上是增函数，
2，当（X）属于，闭区间-5，-2闭区间，时，F（X）是增函数还是减函数？
要过程 。。。

Answer 1

解：1.F(0)+F(1)=√3/3,F(-1)+F(2)=√3/3,F(-2)+F(3)=√3/3
∴自变量的和为1，函数值的和不变，恒为√3／3，现证明如下：
F(x)＋F(1-x)=1/（3^x＋√3）＋1/（3^(1-x)＋√3）
=1/（3^x＋√3）＋3^x／（3+√3×3^x）
=1/（3^x＋√3）＋（3^x/√3）（1/（3^x＋√3））
=[1/（3^x＋√3）][1＋3^x/√3]==[1/（3^x＋√3）][（3^x＋√3）／√3]
=√3／3
2.任意x1,x2∈（－∞,1],x1<x2
F(X1)-F(X2)=-x1²＋2x1＋x2²－2x2=(x2-x1)(x2+x1)－2(x2-x1)
=(x2-x1)(x1+x2-2)
∵x2-x1＞0,x1+x2-2＜0
∴(x2-x1)(x1+x2-2)＜0,F(X1)＜F(X2)
∴F(x)在（－∞，1]上是增函数
∵[-5，-2]∈（－∞，1]
∴F(x)在[-5，-2]上是增函数