Question

高2数学推理与证明

(1)已知a属于（0，兀），求2SIN2a小于等于SINa/(1-COSa)

(2)已知F（X）=a的X方+（X-2）/（X+1）（a大于1）
求证：（1）证明函数F（X）在（-1，+无穷）上为增函数
（2）证明方程F（X）=0没有负根
要过程的哦。/。

Answer 1

1.解:
因0<a<兀,即sina>0,1-cosa>0,(2cosa-1)^2>0.
所以,
2sin2a-[sina/(1-cosa)]
=[4sinacosa(1-cosa)-sina]/(1-cosa)
=-[sina/(1-cosa)](2cosa-1)^2
=<0
因此,
2sin2a=<sina/(1-cosa).

2.(1)对f(x)求导得f′(x)=a^x㏑a+[x+1-(x-2)]/(x+1)?=a^xlna+3/(x+1)，由于x>1，a>1，a^x>0,lna>0,3/(x+1)?>0。以是f′(x)>0得f(x)在（-1，+∞）上增函数。
(2)当x<-1时,a^x>0,(x-2)/(x+1)>0
a^x+(x-2)/(x+1)>0,f(x)=0没有根,因而也无负实数根.
当-1<x<0时,
因a>1,所以a^x<1
(x-2)/(x+1)=1-3/(x+1)<-2
a^x+(x-2)/(x+1)<-1<0
f(x)=0没有根,也即没有负数根
x≠-1
所以方程f(x)=0没有负数根.

Answer 2

解:
因0<a<兀,即sina>0,1-cosa>0,(2cosa-1)^2>0.
所以,
2sin2a-[sina/(1-cosa)]
=[4sinacosa(1-cosa)-sina]/(1-cosa)
=-[sina/(1-cosa)](2cosa-1)^2
=<0
因此,
2sin2a=<sina/(1-cosa).

2.(1)对f(x)求导得f′(x)=a^x㏑a+[x+1-(x-2)]/(x+1)?=a^xlna+3/(x+1)，由于x>1，a>1，a^x>0,lna>0,3/(x+1)?>0。以是f′(x)>0得f(x)在（-1，+∞）上增函数。
(2)当x<-1时,a^x>0,(x-2)/(x+1)>0
a^x+(x-2)/(x+1)>0,f(x)=0没有根,因而也无负实数根.
当-1<x<0时,
因a>1,所以a^x<1
(x-2)/(x+1)=1-3/(x+1)<-2
a^x+(x-2)/(x+1)<-1<0
f(x)=0没有根,也即没有负数根
x≠-1