Question

高一数学题

12.一条光线从A（-2,3）射出，经X轴反射后，与圆C：（x-3）²+（y-2）²=1相切，则反射光线所在直线方程____________.
14.直线2x+3y+1=0和圆x²+y²-2x-3=0交与点A,B，则弦AB垂直平分线方程是__________。
tan（-a+3π/2）=__________

Answer 1

12. y=(4/3)x-1/3或y=(3/4)x-3/2
14. y=(3/2)x-3/2
. cot a

做法如下：
12. 做A关于x轴的对称点B（-2，-3），根据平面镜成像对称原理知道反射光线一定过这个定点。
根据点B在圆C外可知切线一定有两条。
根据切线长定理知道两个切点到点B的距离相等，所以两个切点都在以B为圆心的圆B上。
点B到圆C的圆心（3，2）的距离的平方可根据两点间距离公式求出为50.
圆C半径为1，由切线与半径垂直及勾股定理可求出切点在圆B：（x+2）²+（y+3）²=49上。
将两圆方程联立解方程组，两圆方程相减得到x+y=4.8，将这个等式变形代入圆B或圆C的方程可以求出交点坐标为（2.2 ，2.6）和（3.6 ， 1.2），也就是切点坐标。
反射光线一定过切点和点B，则可求出两条切线斜率分别为4/3和3/4。
用点斜式方程可已求出反射光线所在直线方程如上面回答所示。

14. 弦AB必在所给直线上，那么其垂直平分线与直线垂直。
根据题给直线方程可知所给直线的斜率为-2/3，因此弦AB的垂直平分线斜率为负倒数3/2。
根据垂径定理可知过圆心垂直于弦的半径平分弦，所以弦AB的垂直平分线还要过圆心。
将圆的方程配方为：（x-1）²+y²=4，可知圆心为（1,0）。
知道直线斜率和经过的定点就可以得出上面答案所给的方程了。

. 三角函数变换的规律是“奇变偶不变，符号看象限”。
题给加上的是π/2的奇数倍，所以tan变成cot。
第一象限角加上3π/2后就是第四象限角，第四象限角的tan正切为负值，所以tan要变成-cot。
正切和余切函数为奇函数，所以原式=-cot（-a）=cot a。