Question

设a,b是非零实数，x属于R，若(sin4x)^4/a^2+(cosx)^4/b^2=1/(a^2+b^2),

则（sinx)^2008/a^2006+(cosx)^2008/b^2006等于多少？急！
(sin4x)^4/a^2+(cosx)^4/b^2=1/(a^2+b^2),改为(sinx)^4/a^2+(cosx)^4/b^2=1/(a^2+b^2）过程要具体一点啊！

Answer 1

题不对吧？sin4x?

追问

(sin4x)^4/a^2+(cosx)^4/b^2=1/(a^2+b^2),改为(sinx)^4/a^2+(cosx)^4/b^2=1/(a^2+b^2）过程要具体一点啊！

追答

化为 (a^2+b^2）*(sinx)^4/a^2+(a^2+b^2）*(cosx)^4/b^2=1
又左=||^2*|向量(sin^2x/a,cos^2x/b)|^2
>=|向量（a,b) ·向量(sin^2x/a,cos^2x/b)|^2=|sin^2x+cos^2x|^2=1 恰好 取到等号
所以 向量（a,b)// 向量(sin^2x/a,cos^2x/b) 即a*cos^2x/b=b*sin^2x/a====>a^2cos^2x=b^2sin^2X
解得：sin^2x=a^2/（a^2+b^2)，cos^2x=b^2/(a^2+b^2)代入原式得：
（sinx)^2008/a^22006+(cosx)^2008/b^22006
=a^2/(a^2+b^2)^1003+b^2/(a^2+b^2)^1003=1/(a^2+b^2)^1002