Question

已知:如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,∠DCB=90°,E是AD的中点,点P事BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于

（1）当P在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE
（2）设（1）中的相似比为k，若AD∶BC=2∶3，请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPF是什么四边形？①当k=1时是_______;②当k=2时是______;③当k=3时是______.并证明k=2时的结论

Answer 1

解：（1）证明：∵AD‖BC，∴∠OBP=∠ODE
在△BOP和△DOE中
∠OBP=∠ODE
∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；（有两个角对应相等的两三角形相似）；
（2）①k=1②k=2③k=3
证明：∵k=2时，BP/DE=2
∴BP=2DE=AD
又∵AD：BC=2：3BC= AD
PC=BC-BP=2/3 AD-AD= 2/1AD=ED
ED‖PC，∴四边形PCDE是平行四边形
∵∠DCB=90°
∴四边形PCDE是矩形，
∴∠EPB=90°，
又∵在直角梯形ABCD中
AD‖BC，AB与DC不平行
∴AE‖BP，AB与EP不平行
四边形ABPE是直角梯形．

Answer 2

1）证明：∵AD‖BC，∴∠OBP=∠ODE
在△BOP和△DOE中
∠OBP=∠ODE
∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；（有两个角对应相等的两三角形相似）；