Question

已经函数f（x）=x3-ax-1 （1） 若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围

已经函数f（x）=x3-ax-1
（1） 若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围
（2） 是否存在实数a，使f（x）在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1)对f（x）求导：f`(x)=3x^2-a
因为f（x）在R上是单调递增的，故：f`(x)>=0在R上恒成立
即：3x^2-a>=0,有a<=3x^2在R上恒成立。此时：a小于3x^2的最小值0
故：a的取值范围是：a<=0
(2)f`(x)=3x^2-a
由题意可以知道：f`(x)在（-1，1）上小于等于0
故可以转化为：3x^2-a<=0,x的取值范围：（－1，1）时，a的取值
a>=3x^2,故a大于等于3x^2的最大值3
所以a的范围是：a>=3

Answer 2

解：（1）f′（x）=3x2-a，3x2-a＞0在R上恒成立，∴a＜0．
又a=0时，f（x）=x3-1在R上单调递增，∴a≤0．
（2）3x2-a＜0在（-1，1）上恒成立，即a＞3x2在（-1，1）上恒成立，即a＞3．
又a=3，f（x）=x3-3x-1，f′（x）=3（x2-1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上单调递减，∴a≥3．