Question

一道高中数学题 急急！跪求详细的过程

已知f(X)=√3sin2x+2cosx的平方+m在区间[0，π／2]上的最大值为6，求常数m的值及与x∈R时，的最小值及最小值时的集合。

Answer 1

f(X)=√3sin2x+2cosx的平方+m
=√3sin2x+cos2x+m+1
=2sin(2x+π/6)+m+1
当x∈[0,π/2]时，有
π/6<=2x+π/6<=7π/6
即-1/2<=sin(2x+π/6)<=1
则m<=f(x)<=3+m
故m=3.
当x∈R时-1<=sin(2x+π/6)<=1
fmin=2,此时2x+π/6=2kπ-π/2,即x=2kπ-2π/3。
即x=2kπ-2π/3(k∈Z)时f(x)取最小值2
当x=2kπ+π/3(k∈Z)时f(x)取最大值6

Answer 2

已知f(X)=(√3)sin2x+2cos²x+m在区间[0，π／2]上的最大值为6，求常数m的值及当x∈R时的最小值与最小值的集合。
解：f(x)=(√3)sin2x+2cos²x+m=(√3)sin2x+cos2x+1+m
=2[(√3/2)sin2x+(1/2)cos2x]+1+m=2[sin2xcos(π/6)+cos2xsin(π/6)]+1+m
=2sin(2x+π/6)+1+m
当2x+π/6=π/2, 即x=(1/2)(π/2-π/6)=π/6∈(0, π/2)时，maxf(x)=f(π/6)=2+1+m=3+m=6
故得m=3.
f(x)=2sin(2x+π/6)+4
当2x+π/6=-π/2+2kπ, 即x=(1/2)[-π/2+2kπ-π/6]=(1/2)(2kπ-2π/3)=kπ-π/3时（k∈Z)
获得minf(x)=-2+4=2.

Answer 3

f(x)=√3sin2x+cos2x+1+m=2sin(2x+π/6)+m+1 2x+π/6∈[π/6,7π/6] f(x)max=2+m+1=6
m=3
f(x)min=-2+3+1=2
2x+π/6=3π/2+2kπ(k∈Z)时取最小值
即x=2π/3+kπ(k∈Z)