Question

在三角形ABC中，A,B,C对边分别为a,b,c,已知b方-a方=ac，证：B=2A

Answer 1

根据余弦定理:a²=b²+c²-2bccosA b²=a²+c²-2accosB
所以b²-a²=a²-b²-2accosB+2bccosA代入b²-a²=ac并化简
得:a(1+cosB)=bcosA
又根据正弦定理知:a=2RsinA,b=2RsinB(注:R为△ABC的外接圆半径)代入
并整理得:sinA=sinBcosA-cosBsinA=sin(B-A)
即sinA=sin(B-A)
所以B-A=180°-A, B=180°显然不符合题意舍去!或者A=B-A, B=2A符合题意,证毕!

Answer 2

利用预先定理有：
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(c^2-ac)/2ac=(c-a)/2a=（c/2a）-1/2
利用正弦定理替换其中的c，a得到：
cosB=(sinC/2sinA)-1/2
2cosBsinA+sinA=sin(A+B)
2cosBsinA+sinA=sinAcosB+cosAsinB
cosBsinA-cosAsinB=-sinA
-cosBsinA+cosAsinB=sinA
sin（B-A)=sinA
所以：
B-A=A
B=2A.

Answer 3

b^2-a^2=ac ===〉b^2=a^2+ac ===>cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(c^2-ac)/2ac=(c-a)/2a
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(c^2+ac)/2bc=(c+a)/2b ===>
cos2A=2cos^2A-1=2(c+a)^2/4b^2 -1=(c^2+2ca+a^2-2b^2)/2b^2
=(c^2-a^2)/2(a^2+ac)=(c-a)/2a 所以 B=2A