Question

当x>0时,求证ln[(1+x)/x]<1/x 写出必要的过程。

Answer 1

方法一、利用函数单调性证明
不防记f(t)=ln(1+t)-t,t>=0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0,t>0
得到f(t)在(0,+∞)单调递减,又f(t)可在t=0处连续,则
f(t)<f(0)=0,t>0即
ln(1+t)<t,t>0
我们取1/x(>0)替换t有
ln[(1+x)/x]<1/x,x>0命题得证。

方法二、中值定理证明
记f(x)=lnx,x>0,显f(x)在[x,x+1]上满足拉格朗日中值定理条件
则存在ξ∈(x,x+1)使得
ln[(x+1)/x]=ln(x+1)-lnx=f(x+1)-f(x)=f'(ξ)[(x+1)-x]=1/ξ
又1/(x+1)<1/ξ<1/x,其中ξ∈(x,x+1)
则有1/(x+1)<ln[(x+1)/x]<1/x
显然ln[(x+1)/x]<1/x,x>0命题成立。

Answer 2

解：
取函数f(x)=ln[(1+x)/x]-1/x
则 当x>0时，f'(x)=lnx*(-1/1+x)<0;所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减；当x>0时， f(x)<f(0)
即ln[(1+x)/x]-1/x <0
所以 ln[(1+x)/x]<1/x

追问

f'(x)=lnx*(-1/1+x)<0 这个是怎么来的哦？ 写下过程，个人比较笨，没看懂。

追答

那个是导数 写的仓促了点 那个看清楚点应该是 f'(x)=(-1/1+x)lnx0 ） 也不知道导过来对不对 很久没做了 你自己再算下