Question

一道高三立体几何题（非选择题，求二面角）

只允许用几何法，禁止用向量或者空间坐标

CC1BB1是矩形，ABB1N是直角梯形，CB垂直底面，AB=BC=AN=4，BB1=8
求二面角C-NB1-C1

Answer 1

容易证明 BN 垂直于 NB1，而CB垂直于NB1，所以NB1垂直于面 CBND，BN和CD也垂直于面NB1CD，角CND就是所求的二面角。CD=DN，所以也很容易求出它为45度。

追问

不好意思。。。我比较笨。。没看懂为什么CND是二面角。。。
能说详细一点吗？
二面角的定义是这样的：设平面a和平面b的交线为L，在L上取一点P，过P作直线PA垂直L且PA∈a，过P作直线PB垂直L且PB∈b，则角APB就是二面角。

请告诉我交线是哪条，垂直于交线的两条直线是哪两条，这两条直线的交点是哪个

Answer 2

解：由题中给出的条件可求出
B1N=BN=4√2，CN=4√3，CB1=4√5
从而知：B1N²+CN²=B1C²
即：CN⊥B1N
而C1B1⊥B1N
所以：直线CN和直线C1B1所成的角就是二面角C-NB1-C1的平面角
由于C1B1‖BC,BC和CN交于C点
所以：∠BCN就是二面角C-NB1-C1的平面角
在直角△BNC中，BN=4√2，BC=4，CN=4√3求∠BCN的度数应该不难吧，你自己作一下吧。

Answer 3

底面上作BM垂直B1N，垂足为M，连接CM， CM垂直B1N（3垂定理）。

平面NB1C1内，做MG平行C1B1， C1B1垂直底面， MG垂直底面， MG垂直BM，B1N

所以角CMG是所求2面角的平面角。且与角CMB互余。

剩下的计算应该都容易了。作NT垂直B1B， tan BB1N = NT/TB1 = 1 角BB1N = 45度
BM = B1B sin 45 = 4根2，
tan CMB = 4/4根2 = 根2 / 2
不是特殊角，用反三角表示。