Question

计算 i+2i^2+3i^3……+2004i^2004 （ i是虚数单位）

令S=S=i+2i^2+3i^3……+2004i^2004
iS=i^2+2i^3+3i^4……+2004i^2005
用S－iS来计算i+2i^2+3i^3……+2004i^2004 等于多少？？
要详细过程！！谢谢

Answer 1

上面那位仁兄做错了！！
我来给您解答这个问题吧，
我们知道一个规律： i i^2=-1 i^3=-i i^4=1
S=i+2i^2+3i^3+4i^4+5i^5+6i^6……+2004i^2004 =i-2-3i+4+5i-6......+2004 （a）
iS=i^2+2i^3+3i^4+4i^5+5i^6+6i^7……+2004i^2005=-1-2i+3+4i-5-6i......+2004i (b)
把a式与b式相加，得
(i+1)S=1(i-1)-2(i+1)-3(i-1)+4(i+1)+
+5(i-1)-6(i+1)-7(i-1)+8(i+1)+
+9(i-1)-10(i+1)-11(i-1)+12(i+1)+
......
+2001(i-1)-2002(i+1)-2003(i-1)+2004(i+1)
根据等差数列的通项公式可以算出最后一行 “+2001(i-1)-2002(i+1)-2003(i-1)+2004(i+1)"是第501行
又上面每一行又可以化简为-2(i-1)+2(i+1) ,再化简4
那501行就是501乘以4，等于2004
答案就是2004，哥们有良心的话，可要再多给点分啊！！

追问

要用“a式与b式相减”即：S－iS
为什么最后答案是：S=1002－1002i呢？？

追答

对不起，我忘了还有一步，实在是抱歉。求出来2004之后，它是
(i+1)S=2004 S=2004/(i+1) S=2004(i-1)/(i+1)(i-1)=1002-1002i
，抱歉，您可以不给我分！！
不过这个绝对是正确答案，

追问

我明白了，谢谢，
能不能麻烦您再用(i-1)S的方法再做一遍
如果可以您继续回答，如果不能我就把这一条采纳了！（分还是会给您的）谢谢！

追答

嘿嘿，如果您再给我加分，我就会给你回答，我要求啊，分数至少20啊

追问

可以，谢谢！

Answer 2

S-Si=i+i^2+i^3+.....+i^2004-2004i^2005
=(1-i^2004)*i/(1-i)-2004i^2005
=[1-(-1)^1002]*i*(1+i)/(1+1)-2004i^2005
S=(1-1)*(i-1)/[2(1-i)]-2004i^2005/(1-i)
=-2004i*(1+i)/(1+1)
=1002(i-1)
=-1002+1002i

追问

为什么最后答案是：S=1002－1002i呢？？