Question

一道高中导数题

f（x）=
（1）设a大于0，讨论f（x）单调性
（2）对任意x大于0小于1恒有f（x）大于1，求a的范围

Answer 1

(1) f(x)=[(1+x)/(1-x)]e^(-ax)
f'(x)=[2/(1-x)^2-a(1+x)/(1-x)]e^(-ax)
=e^(-ax)[2/(1-x)^2-a(1-x^2)]/(1-x)^2
=e^(-ax)[2-a(1-x^2)]/(1-x)^2
=e^(-ax)*a[x^2+(2/a-1)]/(1-x)^2 ....... a>0

0<a<=2时，f"(x)>=0 f(x)在x<1和x>1时单调增
a>=2时，
x>1 f'(x)>0 f(x)单调增
√(1-2/a)<x<1时，f'(x)>0 f(x)单调增
-√(1-2/a)<x<√(1-2/a) f(x)单调减
x<-√(1-2/a) f(x)单调减

(2) 因为f(0)=1
只有在(0,△x)单调增时，才能有f(△x)>1
由（1）可得 0<a<=2

追问

兄弟，你水平没比我高到哪里去，我也就做到这里，还有一种情况你没讨论呢！

追答

你好，还有那种情况没讨论呢，请赐教，我感觉应该没有了吧，

只有这个范围0=2 函数f(x)有增有减，就不满足 对任意x大于0小于1恒有f(x)大于1

追问

好吧，我们老师讲过了，我也懂了，你在讨论a大于2时要说明：f（0）等于1成立，且f（x）在（0,1）上先减后增，必有一段小于1，所以a大于2时不成立。综上所述a大于0小于等于2

Answer 2

换元

追问

具体点