Question

已知函数f(x)=lgx,求证f(x1)+f(x2)/2≤f(x1+x2/2)

Answer 1

因为：f(x)=lgx,x1,x2∈R+
所以，
[f(x1)+f(x2)]/2
=(lgx1+lgx2)/2
=lg(√x1x2)
f[(x1+x2)/2]
=lg[(x1+x2)/2]
由匀值定理得：x1+x2≥2√x1x2
所以，(x1+x2)/2≥√x1x2
由于，f(x)=lgx为增加函数
所以，lg[(x1+x2)/2]≥lg(√x1x2)
所以，1/2[f(x1)+f(x2)]≥f[(x1+x2)/2]
所以，f(x1)+f(x2)/2≤f(x1+x2/2)

Answer 2

f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1x2)
2f((x1+x2)/2)=2lg((x1+x2)/2)=lg((x1+x2)^2/4)
because (x1+x2)^2/4-x1x2=(x1-x2)^2/4>0
and f(x)=lgx在R+是增函数
so f(x1)+f(x2)<2f((x1+x2)/2)

有函数凹凸性质可以知道所以的凹向上函数都满足

[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]

证毕。

Answer 3

(f(x1)+f(x2))/2=0.5lg(x1*x2)=lg((x1*x2)^0.5) 又f((x1+x2)/2)=lg((x1+x2)/2) 所以只要证：（x1*x2)^0.5<=(x1+x2)/2,此即为基本不等式，证毕。