Question

高一数学题目 高手看看我哪里错了

函数y=4^x-3.2^x+3的值域为【1，7】则函数的定义域为？标准答案是负无穷大到0交1到2.都是闭区间
我的解法：设2^x=t，t>0
y=t^2-3t+3 当y=1时，t=2或1 ，当y=7时t=4或-1 (-1舍去）
因为y的对成轴是3/2 取t=1时还有最小值，所以t=1舍去。所以t 的范围是2到4 x的范围是1到2 。
我哪里错了啊？高手给下正确解法谢谢啊

Answer 1

不能说解法有错，是你对题目的分析和对结果的理解有偏差。我个人倾向于采用换元法并结合函数图像来解决此问。设2^x=t，则y=t²－3t＋3，其中t>0。

图像上红色曲线段所显示的就是你要的值域是[1，7]时所有自变量t的取值范围，可以发现t∈(0，1]∪[2，4]。真的如标准答案所言，要把这么多的范围全标上才可以得出题目所需要的值域吗？答案并非如此。

举例：如t∈(0.2，0.3)∪[2，4]，值域是[1，7]吗？当然是的。如t∈(0，1]∪(2.4，4]，值域是[1，7]吗？答案是肯定的。

这样看来，标准答案所给出的区间，应该是这个值域所需要的自变量的最大区域。本题的答案不唯一。

另外，已知函数值域求函数定义域的问题，现在已经淡化很多了，这样的题目可以不予研究。再者，出现这样的问题的根本原因是由于这个函数不存在反函数所导致的。

Answer 2

y=t^2-3t+3 t>0是一个二次函t=3/2是该函数的对称轴所以在t大于0小于等于3/2是减函数。在t大于3/2时该函数为增函数。t=3/2时y=3/4 减区间上 0<t小于等于1时y=4^x-3.2^x+3的值域也在【1，7】之间也满足题意此时x的范围为负无穷大到0 增 区间上t 的范围是2到4 x的范围是1到2 。

Answer 3

假设正确
但不能直接用y=1和y=7求,你要写成范围式
1<t^2-3t+3<7
可得两个需要交集的式子 t^2-3t+3>1 t^2-3t+3<7
整理后得(t-2)(t-1)>0 及 (t-4)t-1)<0
交集范围为 -1<t<1 2<t<4
将2^x=t代入
-1<2^x<1 因为2^x本身有最小值,当x=负无穷大时,Min=0
所以 -无穷大<x<0
2<2^x<4 可得 1<x<2

所以你的问题就是没用范围作,还有没注意2^x本身的值域和定义域也要放入交集内

Answer 4

你的解法没有错误。但是把t的范围少了一部分，t∈[0,1]∪[2,4]。
t^2-3t+3>=1 ∴t<=1或者t>=2
t^2-3t+3<=7 ∴t<=4或者t>=-1
又 t>0 ∴t∈[0,1]∪[2,4]
接下来就可以得到准确答案了。t∈(-∞,0]∪[1,2]

以后解不等式时不要当成等式来解，等式只是求出边界，却没有方向。很容易马虎大意的。

Answer 5

你好！
令t=2^x>0，则函数可表示为
y=t²-3t+3，因为1=<y<=7，于是有
1=<t²-3t+3<=7
分成两个不等式
t²-3t+2>=0
t²-3t-4<=0
解得t<=1或t>=2；-1=<t<=4
取交集得-1=<t<=1或2=<t<=4
因为t>0，所以0<2^x<=1或2=<2^x<=4
解得x<=0或1=<x<=2
所以x的取值范围为(-∞,0]∪[1,2]。

或换成：令t=2^x,则t＞0,且
y=t^2-3t+3。又知其值域为[1，7]，即
1≤t^2-3t+3≤7。
由t^2-3t+3≥1得t≤1或t≥2；
又由t^2-3t+3≤7得-1≤t≤4；
综合知0＜t≤1或2≤t≤4，即
0＜2^x≤1或2≤2^x≤4。
也就是x≤0或1≤x≤2。
所以x的取值范围为(-∞,0]∪[1,2]。
祝楼主钱途无限，事事都给力！

Answer 6

设2^x=t，t>0，y=t^2-3t+3 。令1<=y<=7，可得0<t<=1或2<=t<=4
又2^x=t，0<2^x<=1或2<=2^x<=4
可得定义域为负无穷大到0交1到2。

同学你这一题应该先将t范围整体求出，在用2^x换掉t！