Question

高一物理 万有引力定律

如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分。所挖去的小圆球的球心O'和大球体球心间的距离是R/2。求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力。

Answer 1

对球体O：F=GMm/(2R)²
对球体O'：F'=GM'm/(2R+R/2)²
又M=4πR³/3
M'=4π(R/2)³/3
得M'=M/8
球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力为
F-F'=23GMm/100R²

Answer 2

万有引力定律：F=G*M*m/r^2
可见引力只与两物体的质量和距离有关。
大球体积：V1=4*π*R^3/3
小球半径：r=R/2
小球体积：V2=4*π*r^3/3=4*π*（R/2）^3/3=4*π*R^3/24=V1/8
剩余体积：7V1/8(八分之七的V1)
密度相同，则剩余质量为7M/8。
万有引力定律：F=G*M*m/r^2
F=G*(7M/8)*m/(2R)^2
=7G*M*m/32*R^2

追问

那个大球挖掉一个小球之后，剩余部分的重心与P点的距离还是2R么？不会改变重心吗？

追答

问得很好，质心肯定会改变。这个我没考虑到，很抱歉。
首先，对于你所给的那个图而言。被挖去后，大球上下半球的质量仍然相等，
所以质心仍在OP这条线上，只是更靠近P点了。
被挖去后，左半球的质量是3M/8，右半球的质量是1M/2，质心就是使左右半球的质量也相等的那个点。由于密度相同，所以就是要找使左右半球体积相等的那个点。
这样需要积分计算，有点麻烦，懒得算了。

Answer 3

大球的引力减去小球的引力即为所求
G*M*m/(2R)^2-G*(1/8*M*m)/(5/2R)^2
挖去的体积是大球的八分之一

Answer 4

算出 小球体积
大球体积
用比例 算出挖去小球的质量

算出 挖出的小球这部分质量对p的万有引力
挖之前的大球整个质量对p的万有引力
最后 相减

Answer 5

F=G*M*m/r^2
V1=4*π*R^3/3
r=R/2
V2=4*π*r^3/3=4*π*（R/2）^3/3=4*π*R^3/24=V1/8
7V1/8(八分之七的V1)
F=G*M*m/r^2
F=G*(7M/8)*m/(2R)^2
=7G*M*m/32*R^2